APLICACIÓN DE LA REGRESIÓN LINEAL EN LENGUAJE R EN ENDODONCIA

Artículo completo
Introducción

El lenguaje R¹es un software libre para elaborar estadísticas que puede bajarse del sitio web http://www.R-project.org/Licenses/.

En el trabajo científico de referencia¹⁴ se definieron como unidad experimental los premolares inferiores unirradiculares recientemente extraídos (seccionados transversalmente a 16 mm del ápice para estandarizar la longitud de las muestras y luego realizar su tratamiento endodóntico). La muestra estuvo integrada por 30 premolares y las variables registradas fueron: temperaturas en la superficie externa (mediciones en ºC realizadas mediante un dispositivo digital con termocupla) y tiempos durante la desobturación (segundos) efectuada con siete tipos de fresas; Gates Glidden (G1, G2, G3), de Peeso (P1, P2, P3) y de PostecPlus FRC (FRC). Con los datos obtenidos de las mediciones, los autores aplicaron el ANOVA de medidas repetidas y la prueba de Tukey, y concluyeron que en todas las fresas se encontró una variación significativa de las temperaturas en los diferentes tiempos.

El objetivo de este trabajo es presentar el análisis de la regresión lineal simple en lenguaje R en un ejemplo odontológico² y potenciar la información de la publicación mencionada.

Materiales y métodos

Previo al análisis estadístico, se transcribieron hacia una hoja de cálculo los promedios de temperatura de los tiempos y fresas experimentadas. La Tabla 1 contiene a la izquierda los datos de la publicación original a y a la derecha la base de datos con los promedios.

Se desarrolló la siguiente rutina:
1º) Crear la matriz de datos D1, seleccionando en la hoja de cálculo la base de datos con los promedios de temperaturas y ordenando la copia (Ctrl C), luego en la ventana R Commander ejecutar el comando:
D1 <- read.delim (clipboard) # En el objeto D1 se almacena la matriz de datos
2º) Visualizar y cuantificar la asociación entre variables se generaron dos matrices, la de coeficientes de correlación y la de diagramas de dispersión, ejecutando los comandos:
cor (D1) # Para la matriz de correlaciones
pairs (D1) # Para la matriz de diagramas de dispersión
3º) Desarrollar los modelos de regresión lineal entre Tiempo (variable independiente) y Temperatura (variables dependientes) de las fresas experimentadas, ejecutando los comandos:
G1 <- lm (G1 ~ T, data = D1) # Al objeto G1 se asignó los resultados del modelo entre G1 y T
G2 <- lm (G2 ~ T, data = D1) # Al objeto G2 se asignó los resultados del modelo entre G2 y T
G3 <- lm (G3 ~ T, data = D1) # Al objeto G3 se asignó los resultados del modelo entre G3 y T
P1 <- lm (P1 ~ T, data = D1) # Al objeto P1 se asignó los resultados del modelo entre P1 y T
P2 <- lm (P2 ~ T, data = D1) # Al objeto P2 se asignó los resultados del modelo entre P2 y T
P3 <- lm (P3 ~ T, data = D1) # Al objeto P3 se asignó los resultados del modelo entre P3 y T
FRC <- lm (F ~ T, data = D1) # Al objeto FRC se asignó los resultados del modelo entre F y T
Ejecutar el nombre de los objetos donde se almacenaron los resultados (G1, G2, G3, P1, P2, P3 y FRC) para mostrar los parámetros de los modelos de regresión desarrollados.

4º) Estimar y mostrar intervalos de confianza de los parámetros de los modelos, ejecutando los siguientes comandos:
confint (G1) # Intervalos de confianza del 95% de los parámetros del modelo en G1
confint (modelos G2, G3, P1, P2 o P3 según corresponda) #
confint (FRC) # Intervalos de confianza del 95% de los parámetros del modelo en FRC
confint (FRC, level = 0.9) # Intervalos de confianza al 90% de los parámetros del modelo en FRC
5º) Predecir valores de temperatura para los tiempos experimentados y para tiempos teóricos no experimentados ejecutando los comandos:
predict (G1) # Predice temperaturas de G1 para los tiempos experimentados
predict (modelos G2, G3, P1, P2, P3 o FRC según corresponda) #
T1 <- data.frame (T = seq(10, 25)) # Genera un vector columna con Tiempos teóricos (no experimentados)
predict (G1, T1) # Predice Temperaturas en G1 para los Tiempos teóricos
predict (P3, T1) # Predice Temperaturas en P3 para los Tiempos teóricos
6º) Estimar los intervalos de confianza (IC) y de predicción (IP) para la temperatura en los tiempos teóricos y visualizarlos con su correspondiente representación gráfica, ejecutando los comandos:
ic <- predict (P3, T1, interval = "confidence") # Intervalo de confianza de P3 en los tiempos teóricos T1
ip <- predict(P3, T1, interval = "prediction") # Intervalo de predicción de P3 en los tiempos teóricos T1
plot (T1$T, ic[, 1], xlab = "Seg.", ylab = "ºC en P3") # Diagrama de dispersión para T1 y ic [,1]
abline (P3) # Recta de ajuste del modelo almacenado en P3
lines (T1$T, ic [, 2], lty = 2) # Representa el límite inferior del intervalo ic en línea cortada
lines (T1$T, ic [, 3], lty = 2) # Representa el límite superior del intervalo ic en línea cortada
lines (T1$T, ip [, 2], lty = 1) # Representa el límite inferior del intervalo ip en línea llena
lines (T1$T, ip [, 3], lty = 1) # Representa el límite superior del intervalo ip en línea llena
7º) Diagnosticar la bondad de ajuste del modelo respecto de los datos experimentales, ejecutando los comandos:
summary (P3) # Muestra los residuos, el coeficiente de determinación y el estadístico F almacenado en P3
anova (P3) # Muestra el resultado del test F en base a los errores aleatorios almacenado en P3
8°) Extraer los valores ajustados de la variable dependiente y los residuos (para evaluar los supuestos paramétricos, ejecutando los comandos:
v <- fitted (P3) # De P3 se extraen los valores ajustados de la respuesta (Ý) y almacenan en el objeto `v´
r <- residuals (P3) # De P3 se extraen los residuos (r_i = Y_i - Ý) y almacenan en el objeto `r´
s <- rstandard (P3) # De P3 se extraen los residuos estandarizados (r_i / S_r) y almacenan en el objeto `s´
9°) Visualizar los supuestos de normalidad, independencia y linealidad representando los residuos estandarizados frente a los valores ajustados de la variable respuesta y frente a los residuos teóricos según la distribución normal, ejecutando los comandos:
par (mfcol = c (1,2)) # Habilita la ventana gráfica para dos imágenes
plot (v, s) # Visualiza los residuos estandarizados (r_i / S_r) frente a los valores ajustados de la respuesta
abline(h=0,lty=2) # Visualiza la línea de referencia en el valor cero de los residuos
qqnorm (s) # Visualiza los residuos estandarizados (r_i / S_r) frente a los teóricos según la normalidad
qqline (s) # Visualiza la línea de referencia diagonal de los residuos

10°) Analizar cuantitativamente el supuesto de normalidad, ejecutando los comandos:
shapiro.test (s) # El test de Shapiro-Wilk para analizar la normalidad de los residuos estandarizados
shapiro.test (r) # El test de Shapiro-Wilk para analizar la normalidad de los residuos sin estandarizar

Resultados

La matriz de diagramas de dispersión (Figura 1) visualiza la forma de la asociación entre pares de variables y la matriz de coeficientes de correlación cuantifica dichas asociaciones.

Los diagramas de dispersión con una nube de puntos visualizan el tipo de relación entre variables (directa, nula o inversa). En este trabajo todos permiten visualizar una asociación directa y muy intensa (los puntos de la nube están ubicados cercanos a una misma línea).

Los valores de los coeficientes (ß₀ y ß₁) que permiten predecir valores para la variable dependiente (temperaturas de las fresas simbolizadas como G1, G2, etc.) en función de valores de la variable independiente (T).

Debajo del término (Intercept) figura el coeficiente denominado Ordenada al Origen (ß₀) y debajo del término T (variable independiente Tiempo) el denominado Coeficiente de Regresión (ß₁).

Si los datos empíricos están bien explicados por un modelo lineal simple, la variable dependiente se relaciona con la variable independiente a través de dichos parámetros (ß₀ y ß₁) según la expresión: y = ß₀ ß₁ * x_i e_i

Para el análisis de la relación entre la T y G1 los parámetros son: ß₀ = 22.5092 y ß₁ = 0.4541, quedando el modelo como: y = 22.5092 0.4541 x
El parámetro ß₀ indica el valor que adquiere la variable dependiente cuando la variable independiente asume el valor cero (para el Tiempo O se estima una Temperatura de 22.5092 °C).

El parámetro ß₁ indica la magnitud del cambio de la variable dependiente por cada unidad que cambia la variable independiente (por cada segundo de Tiempo, la Temperatura aumenta 0.4541 °C).

El coeficiente de regresión más alto se cuantificó para el modelo P3 (por cada segundo de Tiempo, la Temperatura aumenta en 1.21 ºC) y el valor más bajo se obtuvo en el modelo G1 (por cada segundo de Tiempo, la Temperatura aumenta en 0.4541 ºC).

Con todos los coeficientes calculados (0.4541 en G1; 0.6752 en G2; 0.7936 en G3; 0.6908 en P1; 0.7936 en P2; 1.21 en P3 y 0.7495 en FRC) se estimó un promedio de 0.77 para todos los modelos.

La función CONFINT devuelve intervalos de confianza para los parámetros del modelo (ß₀ y ß₁), que por defecto es del 0.95 (con el argumento level se puede definir otro nivel de confianza).

La función PREDICT devuelve valores predichos para la variable respuesta (temperatura), tanto en los tiempos empíricos como en los tiempos teóricos.

El objeto IC almacena el intervalo de confianza de temperatura media de P3 para los tiempos teóricos T1 en una matriz de tres columnas (la primera contiene la predicción media y las otras contienen los límites del intervalo). Informa el rango de valores esperables de la variable dependiente (temperatura), con una probabilidad del 95%, para un valor promedio dado de la variable independiente (tiempo).

El objeto IP almacena el intervalo de predicción de temperatura media de P3 en los tiempos teóricos T1 en una matriz de tres columnas (la primera contiene la predicción media y las otras contienen los límites del intervalo). Reporta el rango de valores que se puede esperar de la variable dependiente (temperatura) con una probabilidad del 95%, para un valor particular de la variable independiente (tiempo).

La Figura 2 visualiza los citados intervalos, el de confianza con línea cortada y el de predicción con línea llena. A menor tamaño de la muestra (n) mayor será el error o amplitud de los intervalos.

En el primer apartado se muestra una lista de todos los residuos o errores (desvío de cada dato observado respecto del dato estimado por el modelo) o un resumen de cinco números (m, Q₁, Q₂, Q₃, M) de toda la serie de errores. Información que permite analizar los supuestos paramétricos (los errores aleatorios e_i son independientes, con distribución normal de media 0 y varianza s²).

En el segundo apartado se muestran los coeficientes estimados (ß₀ y ß₁), los errores típicos de dichos parámetros (std. error), los estadísticos t value (cociente entre cada estimador y su error típico) y las probabilidades asociadas `Pr (> |t|)´, para contrastar las hipótesis (Ho: ß₀ = 0) y (Ho: ß₁ = 0). Se rechazan la hipótesis si las probabilidades son menores del 0.05.

En el tercer apartado se destacan el Coeficiente de Determinación R² (multiple R-squared = 0.9312) que mide la bondad de ajuste del modelo (representado por la recta) respecto de los datos empíricos (representados por la nube de puntos). Cercano a 1 se interpreta que el modelo explica muy bien los datos experimentales; lo contrario se aplica cuando se acerca a 0.

También se encuentran el estimador del error estándar de los errores (1.835), el valor del estadístico de prueba `F´ (67.7) y su valor de p (0.000432) para contrastar la hipótesis de regresión es nula (Ho: ß₁ = 0).

El análisis de la bondad de ajuste de la recta de regresión respecto de los datos empíricos (si a través del modelo lineal propuesto la variable predictora explica lo suficiente la variable respuesta), plantea las hipótesis nula de que el modelo lineal no explica bien la respuesta (ß1 = 0) y la hipótesis alternativa de que el modelo lineal si explica bien la respuesta (ß1 ‡ 0).

Como la probabilidad asociada (0.000432) al estadístico de prueba F (67.695) es menor que el error de tipo I (0.05) se rechaza la hipótesis nula y concluye que el modelo lineal explica bien la variable respuesta.

La Figura 3 visualiza el gráfico de los valores ajustados (v) respecto de los residuos estandarizados (s), donde no se observa ningún patrón especial, resultando hipótesis razonables la homocedasticidad y la linealidad.

También muestra el QQ plot de los residuos para diagnosticar sobre la normalidad (si los puntos están bastante alineados a la diagonal, es aceptable suponer la normalidad en los residuos).

Discusión y conclusiones

Como fundamentan algunos autores,^3-7 conocer los cambios térmicos que se producen en la raíz del diente generados durante los procedimientos de desobturación mecánica, permite decidir respecto del control del tiempo de acción y el estado de uso del instrumental, como también sobre el acompañamiento de refrigeración, ya que temperaturas generadas que superen en 10ºC los 37 ºC podrían causar lesiones en los tejidos circundantes.

Durante la preparación del conducto radicular, los autores García-Cuerva, Horvath, Pinasco, Ciparelli, Tartacovsky, Gualtieri, Casadoumecq, Rodríguez y González Zanotto registraron en la superficie externa radicular con las fresas de Gates Glidden (G1, G2, G3) de Peeso (P1, P2, P3) y la correspondiente a PostecPlus FRC (FRC), valores superiores a 50ºC, siendo el mayor aumento de temperatura de 16ºC a los 15 segundos. Tras someter los datos al ANOVA de medidas repetidas y el test de Tukey, encontraron un aumento significativo (p < 0.05) de la temperatura con el tiempo con todas las fresas y detectaron también diferencias significativas (p < 0.05) de temperatura entre diferentes fresas a los tiempos considerados.

Distintos autores^8-10 sugieren que, además del tiempo de desobturación, el material de los instrumentos usados para este fin, la fuerza del operador y la fricción que generan influyen en la temperatura de la superficie externa de la raíz.¹¹ Además, a mayor velocidad de rotación de la fresa, mayor el incremento de la temperatura.¹² Los instrumentos de níquel-titanio requieren menor velocidad para trabajar (300 rpm) por lo que sugieren que producirían menor variación de la temperatura.⁸ La constante irrigación podría reducir este efecto;¹³ sin embargo, a pesar de haber usado abundante irrigación durante la desobturación de conductos, Amade y col.,¹⁰ hallaron que no fue suficiente para impedir el aumento en la temperatura registrado.

La cuantificación de la relación entre las variables tiempo y temperatura, con la regresión lineal simple, permitió inferir que por cada segundo del procedimiento de desobturación mecánica del conducto radicular, según el modelo P3, la temperatura de la superficie externa de la raíz del diente puede aumentar en 1.21ºC. Entonces se alcanzarían temperaturas superiores en 10ºC a la temperatura fisiológica (37ºC), en el tiempo de 20 segundos. También se puede predecir a los 10 segundos una temperatura de 27.0ºC en G1 y de 35.2ºC en P3. A los 15 segundos, de 29.3ºC en G1 y 41.2ºC en P3. A los 18 segundos, se predice una temperatura de 30.7ºC en G1 y de 44.8ºC en P3; y de 31.6ºC en G1 y 47.3ºC en P3, a los 20 segundos.

Para ciertos autores,⁷ una temperatura de 47ºC es suficiente para dañar los tejidos soporte del diente, y para otros,⁴ una exposición del ligamento periodontal a 43ºC puede provocar desnaturalización proteica. En la fresa Gates 1 se estima que en un tiempo de 25 segundos se puede llegar a una temperatura de 33.86ºC (debajo de las críticas). En la fresa Peeso 3 se estima que luego de los 16 segundos se superan las citadas temperaturas críticas.

El lenguaje R¹, además de su libre disponibilidad y de contar con un amplio ámbito de consulta en Internet, facilitó el desarrollo integral del procedimiento de regresión lineal mediante una rutina sencilla.